LML-38
EN COURS DE RELECTURE
Introduction
Les définitions données précédemment concernant la résolution temporelle des paiements sont compatibles avec les spécifications de valeurs actuelles données dans les spécifications actuarielles , à condition d'assimiler un "vecteur pilote" à la projection d'une fonction de paiement
La spécification actuarielle des valeurs actuelles peut donc être reformulée dans le langage des fonctions de paiement sur l'espace
Il faut garder à l'esprit que ces formules reposent sur l'hypothèse que le taux d'escompte et les probabilités de transition entre états différents sont faibles (interpolation linéaire des probabilités de transition annuelles et développement au 1er ordre). Le formulaire a donc une validité générale dans la mesure où cette hypothèse est respectée.
Fonction d'escompte
Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons comment sont déterminés les facteurs d'escompte (ingrédients essentiels dans le calcul de la valeur actuelle).
Définition aux temps entiers
Considérons un taux d'escompte variable dans le temps ; plus précisément, le taux d'intérêt déterminant pour la valeur actuelle est un taux annuel dépendant de l'année. Soit donc
On peut donc écrire la valeur actuelle au temps d'un capital 1 versé au temps ( ) :
On notera la propriété multiplicative
Extension aux temps continus
Dans la plupart des cas, la fonction d'escompte définie sur des temps entiers est suffisante : les formules d'interpolation de la valeur actuelle, qui seront définies plus loin, permettent précisément de se ramener à des temps entiers.
Il existe toutefois deux situations qui demandent la définition d'une fonction d'escompte étendue aux temps continus :
prise en compte d'un délai d'attente fractionnaire pour la valeur actuelle des rentes d'invalidité (et cela même si la valeur actuelle est évaluée à des temps entiers)
calcul d'intérêts "financier" (ce point sera abordé plus loin)
On peut interpréter une telle fonction étendue comme la "valeur escomptée" au temps réel d'un capital 1 versé au temps réel , mais il faut garder à l'esprit le point suivant :
en dehors des deux exceptions indiquées, cette fonction ne joue aucun rôle dans le calcul des valeurs actuelles aux temps réels et elle n'est pas compatible avec les formules d'interpolation
On imposera les contraintes suivantes sur une fonction d'escompte étendue
A noter que la propriété multiplicative cesse d'être vraie en général.
Sur cette base plusieurs extensions de la fonction d'escompte peuvent être construits. Nous définirons pour l'instant une seule extension, qui sera utilisée pour le calcul de l'invalidité.
Extension standard : intérêts composés continus
La manière la plus simple de construire une extension de la fonction est de poser
On voit immédiatement qu'une telle extension possède la propriété multiplicative générale
(on vérifiera plus loin que la réciproque est vraie). On obtient une extension standard de en choisissant
Autrement dit, on procède à un calcul "d'intérêts composés" en temps continu : si le taux d'intérêt est constant, on a simplement
Note d'implémentation
Dans le moteur de calcul cette extension est implémentée par les classes
ch.vaudoise.life.math.util.VariableDiscountFunction (pour un taux d'intérêt dépendant de la période d'assurance)
ch.vaudoise.life.math.util.ConstantDiscountFunction (pour un taux d'intérêt constant).
Formulaire de calcul des valeurs actuelles
Définitions de la valeur actuelle
La valeur actuelle d'une (somme de) fonction(s) de paiement, que nous noterons , est d'abord définie comme une grandeur observée dans le temps continu : elle représente l'espérance mathématique des paiements futurs escomptés, mesurée au temps , alors que la police se trouve dans l'état . En particulier, le principe d'équivalence stipule que pour la somme des fonctions de paiement.
Pour diverses raisons Ceci permet de voir la valeur actuelle comme un opérateur agissant sur l'espace des fonctions de paiement. Exemples d'utilisation: frais d'acquisition définis en fonction de la valeur actuelle des primes, restitution d'un pourcentage de la valeur actuelle d'une rente viagère en cas de décès, etc. , il est souhaitable de définir également la valeur actuelle en tant que fonction de paiement, autrement dit comme une fonction réelle . Par définition, on pose
Autrement dit, est la valeur actuelle mesurée au début de la période . On vérifie que est bien définie sur .
Revenons maintenant à la valeur actuelle observée dans le temps continu. Nous commencerons par calculer sa valeur aux temps entiers, puis nous présenterons des formules d'interpolation pour les temps non entiers.
Formule pour un espace Markovien
Soit l'état de la police observé au temps initial . La valeur actuelle d'une fonction de paiement satisfait la relation de récurrence (conformément aux spécifications actuarielles) :
où
désigne la probabilité de passer de l'état instantané
au temps (réel)
à l'état
au temps (réel)
est le facteur d'escompte
Formule pour un espace semi-Markovien
Nous nous restreindrons ici au seul cas connu actuellement, qui est celui de la rente d'invalidité. Concrètement, cela signifie que nous faisons les hypothèses restrictives suivantes :
La résolution temporelle des états est celle des rentes IV (temps de séjour avec délai d'attente)
Un seul état instantané donne lieu à des prestations (l'état invalide)
Ces restrictions sont principalement dues au fait que nous ne disposons pas d'une mesure de probabilité complète sur l'espace semi-Markovien; les probabilités introduites ci-dessous doivent être comprises comme effectives, et non pas comme de réelles probabilités de transition entre états semi-Markoviens. Le cas échéant, le formalisme utilisé se prêtera à une éventuelle généralisation.
Afin de simplifier les notations, introduisons deux opérateurs sur l'espace des états .
L'opérateur de translation temporelle (pas de transition vers un nouvel état instantané) est défini comme :
L'opérateur de transition de l'état instantané (actif) vers l'état instantané (invalide) avec délai d'attente () est défini comme :
(cette définition ne s'applique qu'aux états "actifs", mais elle suffit à nos besoins).
Considérons une police qui se trouve au temps dans l'état initial , et une fonction de paiement restreinte aux états invalides.
Définissons deux fonctions , , qui sont les valeurs actuelles restreintes aux états de type , respectivement (actif / invalidité en cours). On dispose des relations de récurrence suivante Conformément aux spécifications actuarielles (OK pour le cas anticipé, mais à terme échu ou immédiat?):