EN COURS DE RELECTURE

Introduction

Les définitions données précédemment concernant la résolution temporelle des paiements sont compatibles avec les spécifications de valeurs actuelles données dans les spécifications actuarielles , à condition d'assimiler un "vecteur pilote" à la projection d'une fonction de paiement sur un état ; la dépendance à l'état observé de la police devient alors explicite.
La spécification actuarielle des valeurs actuelles peut donc être reformulée dans le langage des fonctions de paiement sur l'espace ; c'est l'objet du formulaire ci-dessous.
Il faut garder à l'esprit que ces formules reposent sur l'hypothèse que le taux d'escompte et les probabilités de transition entre états différents sont faibles (interpolation linéaire des probabilités de transition annuelles et développement au 1^er ordre). Le formulaire a donc une validité générale dans la mesure où cette hypothèse est respectée.

Fonction d'escompte

Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons comment sont déterminés les facteurs d'escompte (ingrédients essentiels dans le calcul de la valeur actuelle).

Définition aux temps entiers

Considérons un taux d'escompte variable dans le temps ; plus précisément, le taux d'intérêt déterminant pour la valeur actuelle est un taux annuel dépendant de l'année. Soit donc le facteur d'escompte, défini de telle manière que la valeur actuelle au temps d'un capital 1 versé au temps vaut

étant le taux d'intérêt annuel applicable au cours de la période (soit dans l'intervalle de temps ).
On peut donc écrire la valeur actuelle au temps d'un capital 1 versé au temps ( ) :

On notera la propriété multiplicative 

Extension aux temps continus

Dans la plupart des cas, la fonction d'escompte définie sur des temps entiers est suffisante : les formules d'interpolation de la valeur actuelle, qui seront définies plus loin, permettent précisément de se ramener à des temps entiers.

Il existe toutefois deux situations qui demandent la définition d'une fonction d'escompte étendue aux temps continus :

• prise en compte d'un délai d'attente fractionnaire pour la valeur actuelle des rentes d'invalidité (et cela même si la valeur actuelle est évaluée à des temps entiers)
• calcul d'intérêts "financier" (ce point sera abordé plus loin)

On peut interpréter une telle fonction étendue comme la "valeur escomptée" au temps réel d'un capital 1 versé au temps réel , mais il faut garder à l'esprit le point suivant :

• en dehors des deux exceptions indiquées, cette fonction ne joue aucun rôle dans le calcul des valeurs actuelles aux temps réels et elle n'est pas compatible avec les formules d'interpolation

On imposera les contraintes suivantes sur une fonction d'escompte étendue

A noter que la propriété multiplicative cesse d'être vraie en général.

Sur cette base plusieurs extensions de la fonction d'escompte peuvent être construits. Nous définirons pour l'instant une seule extension, qui sera utilisée pour le calcul de l'invalidité. 

Extension standard : intérêts composés continus

La manière la plus simple de construire une extension de la fonction est de poser

On voit immédiatement qu'une telle extension possède la propriété multiplicative générale

(on vérifiera plus loin que la réciproque est vraie). On obtient une extension standard de  en choisissant

Autrement dit, on procède à un calcul "d'intérêts composés" en temps continu : si le taux d'intérêt est constant, on a simplement

Formulaire de calcul des valeurs actuelles