EN COURS DE RELECTURE

Introduction

Les définitions données précédemment concernant la résolution temporelle des paiements sont compatibles avec les spécifications de valeurs actuelles données dans les spécifications actuarielles , à condition d'assimiler un "vecteur pilote" à la projection d'une fonction de paiement sur un état ; la dépendance à l'état observé de la police devient alors explicite.
La spécification actuarielle des valeurs actuelles peut donc être reformulée dans le langage des fonctions de paiement sur l'espace ; c'est l'objet du formulaire ci-dessous.
Il faut garder à l'esprit que ces formules reposent sur l'hypothèse que le taux d'escompte et les probabilités de transition entre états différents sont faibles (interpolation linéaire des probabilités de transition annuelles et développement au 1^er ordre). Le formulaire a donc une validité générale dans la mesure où cette hypothèse est respectée.

Fonction d'escompte

Avant d'entrer dans le vif du sujet, précisons comment sont déterminés les facteurs d'escompte (ingrédients essentiels dans le calcul de la valeur actuelle).

Définition aux temps entiers

Considérons un taux d'escompte variable dans le temps ; plus précisément, le taux d'intérêt déterminant pour la valeur actuelle est un taux annuel dépendant de l'année. Soit donc le facteur d'escompte, défini de telle manière que la valeur actuelle au temps d'un capital 1 versé au temps vaut

étant le taux d'intérêt annuel applicable au cours de la période (soit dans l'intervalle de temps ).
On peut donc écrire la valeur actuelle au temps d'un capital 1 versé au temps ( ) :

On notera la propriété multiplicative 

Extension aux temps continus

Dans la plupart des cas, la fonction d'escompte définie sur des temps entiers est suffisante : les formules d'interpolation de la valeur actuelle, qui seront définies plus loin, permettent précisément de se ramener à des temps entiers.

Il existe toutefois deux situations qui demandent la définition d'une fonction d'escompte étendue aux temps continus :

• prise en compte d'un délai d'attente fractionnaire pour la valeur actuelle des rentes d'invalidité (et cela même si la valeur actuelle est évaluée à des temps entiers)
• calcul d'intérêts "financier" (ce point sera abordé plus loin)

On peut interpréter une telle fonction étendue comme la "valeur escomptée" au temps réel d'un capital 1 versé au temps réel , mais il faut garder à l'esprit le point suivant :

• en dehors des deux exceptions indiquées, cette fonction ne joue aucun rôle dans le calcul des valeurs actuelles aux temps réels et elle n'est pas compatible avec les formules d'interpolation

On imposera les contraintes suivantes sur une fonction d'escompte étendue

A noter que la propriété multiplicative cesse d'être vraie en général.

Sur cette base plusieurs extensions de la fonction d'escompte peuvent être construits. Nous définirons pour l'instant une seule extension, qui sera utilisée pour le calcul de l'invalidité. 

Extension standard : intérêts composés continus

La manière la plus simple de construire une extension de la fonction est de poser

On voit immédiatement qu'une telle extension possède la propriété multiplicative générale

(on vérifiera plus loin que la réciproque est vraie). On obtient une extension standard de  en choisissant

Autrement dit, on procède à un calcul "d'intérêts composés" en temps continu : si le taux d'intérêt est constant, on a simplement

Formulaire de calcul des valeurs actuelles

Définitions de la valeur actuelle

La valeur actuelle d'une (somme de) fonction(s) de paiement, que nous noterons , est d'abord définie comme une grandeur observée dans le temps continu : elle représente l'espérance mathématique des paiements futurs escomptés, mesurée au temps , alors que la police se trouve dans l'état  . En particulier, le principe d'équivalence stipule que pour la somme des fonctions de paiement.
Pour diverses raisons Ceci permet de voir la valeur actuelle comme un opérateur agissant sur l'espace des fonctions de paiement. Exemples d'utilisation: frais d'acquisition définis en fonction de la valeur actuelle des primes, restitution d'un pourcentage de la valeur actuelle d'une rente viagère en cas de décès, etc. , il est souhaitable de définir également la valeur actuelle en tant que fonction de paiement, autrement dit comme une fonction réelle . Par définition, on pose

Autrement dit, est la valeur actuelle mesurée au début de la période . On vérifie que  est bien définie sur .
Revenons maintenant à la valeur actuelle observée dans le temps continu. Nous commencerons par calculer sa valeur aux temps entiers, puis nous présenterons des formules d'interpolation pour les temps non entiers.

Formule pour un espace Markovien

Soit l'état de la police observé au temps initial . La valeur actuelle d'une fonction de paiement satisfait la relation de récurrence (conformément aux spécifications actuarielles) :

où 

• désigne la probabilité de passer de l'état instantané au temps (réel) à l'état au temps (réel)
• est le facteur d'escompte
• 
• 

Formule pour un espace semi-Markovien

Nous nous restreindrons ici au seul cas connu actuellement, qui est celui de la rente d'invalidité. Concrètement, cela signifie que nous faisons les hypothèses restrictives suivantes :

• La résolution temporelle des états est celle des rentes IV (temps de séjour avec délai d'attente)
• Un seul état instantané donne lieu à des prestations (l'état invalide)

Ces restrictions sont principalement dues au fait que nous ne disposons pas d'une mesure de probabilité complète sur l'espace semi-Markovien; les probabilités introduites ci-dessous doivent être comprises comme effectives, et non pas comme de réelles probabilités de transition entre états semi-Markoviens. Le cas échéant, le formalisme utilisé se prêtera à une éventuelle généralisation.
Afin de simplifier les notations, introduisons deux opérateurs sur l'espace des états .
L'opérateur de translation temporelle (pas de transition vers un nouvel état instantané) est défini comme :

L'opérateur de transition de l'état instantané (actif) vers l'état instantané (invalide) avec délai d'attente () est défini comme :

(cette définition ne s'applique qu'aux états "actifs", mais elle suffit à nos besoins).
Considérons une police qui se trouve au temps dans l'état initial , et une fonction de paiement restreinte aux états invalides.
Définissons deux fonctions , , qui sont les valeurs actuelles restreintes aux états de type  , respectivement (actif / invalidité en cours). On dispose des relations de récurrence suivante Conformément aux spécifications actuarielles (OK pour le cas anticipé, mais à terme échu ou immédiat?):

où

• le facteur d'interpolation est défini comme dans le cas Markovien
• le facteur d'escompte  est défini comme  pour un état
• le facteur d'escompte  est défini comme   pour un état (extension standard de la fonction d'escompte)
• on définit les probabilités de transition

La récurrence peut être résolue d'abord pour , ensuite pour  On obtient finalement :

avec :

• les pseudo-probabilités de transition (la dépendance temporelle est sous-entendue):

Les coefficients ne peuvent être interprétés comme de réelles probabilités de transition dans l'espace semi-Markovien : la formule somme toutes les "trajectoires" dans l'espace des états aboutissant à un état invalide, et les remplace par une unique trajectoire actif->invalide dans laquelle la probabilité de rester actif est remplacée par la probabilité de rester vivant Un vrai calcul probabiliste consisterait à considérer toutes les trajectoires actif->IV->actif..->IV, et les probabilités de transition correspondantes.. En d'autres termes, les coefficients  sont définis comme suit :

• = probabilité de rester vivant ou invalide une année de plus
• = probabilité de devenir invalide et de le rester pendant le délai d'attente

Il s'agit à nouveau d'une formule obtenue par interpolation linéaire et développement au 1^er ordre dans les probabilités de transition et le taux d'escompte. On notera en particulier que les termes en n=0 sont asymétriques : les paiements sont proportionnels à  , ce qui traduit le fait que la rente versée dans l'année qui suit l'expiration du délai d'attente ne l'est que pendant une durée  . On notera également que le cas nous ramène à une expression conforme au modèle abstrait à temps discret.

Interpolation des valeurs actuelles

Lorsque n'est pas entier, ou lors d'une mutation en cours d'année, il est nécessaire de calculer la valeur actuelle à des temps non entiers. Ceci est fait par interpolation, en fonction du mode de résolution temporelle de la fonction de paiement.
Dans le cas Markovien, la formule d'interpolation s'écrit (  ) :

où le facteur de report est défini par

et pour
Il importe de souligner que cette dernière formule n'est applicable que pour (à cause du terme de report, la valeur actuelle peut présenter des discontinuités aux temps entiers).
La dérivation de cette formule est esquissée en annexe; il faut souligner qu'elle n'est correcte qu'à l'ordre zéro dans la période initiale (i.e. la période ).

Période finale non entière

Lorsque n'est pas entier (date d'échéance hors anniversaire), il est également nécessaire de corriger la formule de la valeur actuelle. Puisque l'intervalle du temps peut être réduit à une seule période (si , ou en cas de mutation au cours de la dernière année), il est naturel d'envisager ce cas comme une extension de la formule d'interpolation pour non entier. Cette dernière étant correcte à l'ordre zéro uniquement, on peut garder le même niveau d'approximation et poser (  , ):

où le facteur de report est défini par

et pour

Comme précédemment, le facteur de report annule (à l'ordre zéro) la valeur actuelle interpolée, et la remplace par la somme des termes versés dans l'intervalle

 (autrement dit, compte le nombre de termes versés dans la période).

Interpolation dans le cas de l'invalidité

Il importe de remarquer que la formule d'interpolation par rapport au temps initial prend la forme suivante :

où est l'état initial et est l'opérateur de translation temporelle, de sorte que . Ici le terme de report peut être ignoré car on considère uniquement des fonctions de paiement dues dans l'état invalide.

Extensions de la fonction d'escompte

Intérêts composés continus

Jusqu'ici nous n'avons considéré qu'une seule extension de la fonction d'escompte aux temps réels :

(extension standard : intérêts composés continus).

Mais d'autres extensions existent, qui ont chacune leur utilité.

Propriété multiplicative 

On dira qu'une extension possède la propriété multiplicative générale si elle satisfait :

Intérêts composés annuels

L'extension standard ne correspond pas au calcul d'intérêts usuel (intérêts composés annuels).

Si les intérêts sont composés annuellement (comme dans un compte bancaire), la valeur escomptée en d'un capital unitaire versé au temps est donnée par

Les autres valeurs sont données par la propriété multiplicative restreinte

Il faut souligner que si ne jouit pas de la propriété multiplicative générale, cette dernière est cependant vraie au premier ordre en i (taux d'intérêt annuel). Ce fait sera utilisé lorsque nous discuterons des paiements finaux.

Lorsqu'un calcul d'intérêts est communiqué au client (voir exemple plus loin), il est d'usage d'utiliser la fonction (qui correspond au calcul que le client pourrait faire lui-même).

Espace scalaire et propriété de capitalisation

Si l'espace des états est scalaire (espace trivial, avec un seul état), la valeur actuelle ne fait intervenir aucune probabilité : elle est donc essentiellement une valeur escomptée. Il est dès lors assez naturel de considérer la valeur actuelle comme définissant elle-même une fonction d'escompte , autrement dit 

dénote ici la valeur actuelle au temps s, sur notre espace scalaire, et un paiement unitaire au temps t. A ce stade nous ne faisons aucune hypothèse particulière sur la manière dont est calculée; nous disons simplement que la valeur actuelle sur un espace scalaire peut être vue comme une fonction d'escompte, et vice-versa. 

Propriété de capitalisation générale

Comme nous venons de le voir, dans le cas d'un espace scalaire la valeur actuelle peut être assimilée à une fonction d'escompte. On peut donc se demander si le principe d'équivalence conduit aux mêmes résultats qu'un calcul d'intérêts. Plus précisément, si on considère deux paiements unitaires , on voudrait que ces deux paiements soient actuariellement équivalents si et seulement si pour une certaine fonction d'escompte .

On dira donc que la valeur actuelle (ou la fonction d'escompte associée) possède la propriété de capitalisation générale si l'équation

a toujours pour solution .

Valeur actuelle d'un paiement final et propriété de capitalisation finale

Le résultat qui précède est un peu ennuyeux, comme le montre l'exemple pratique suivant. Considérons une prestation B finale (i.e. payée au temps final ) obtenue comme contrepartie d'une prime ( est par exemple une substance entrante à l'effet u de la mutation); autrement dit B est obtenue par un principe d'équivalence :

Imaginons maintenant que le montant B est communiqué au client, et que ce dernier soit en mesure d'effectuer le calcul d'intérêts correspondant : il s'attend bien sûr à trouver

Nous venons de voir qu'aucune définition de ne permet d'obtenir ce résultat dans tous les cas (i.e. pour n'importe quelle prestation). Mais on peut se contenter d'une propriété de capitalisation restreinte au cas d'un paiement final.

Propriété de capitalisation finale

On dira que la valeur actuelle (ou la fonction d'escompte associée) possède la propriété de capitalisation finale si l'équation

a toujours pour solution .

On notera que cette définition ne dit rien sur les valeurs de la fonction au-delà du temps final .

Fonction d'escompte avec propriété de capitalisation finale

Afin de résoudre le problème du paiement final ci-dessus, il nous reste donc à construire une valeur actuelle (ou une fonction d'escompte) avec la propriété de capitalisation finale . Notons une telle fonction d'escompte. La propriété de capitalisation finale implique

Pour des raisons pratiques, il est nécessaire d'étendre cette définition au-delà du temps final , c'est-à-dire au domaine Il est raisonnable d'exiger 

1. 
2. possède la propriété multiplicative générale sur le domaine
3. , autrement dit et sont équivalents au premier ordre en i (=taux d'intérêt annuel) 

(on vérifie sans peine que les deux dernières conditions sont déjà satisfaites sur le domaine ). L'extension recherchée est donnée par la formule :

Propriété de capitalisation initiale

A ce stade, on peut se demander quelles sont les propriétés de la valeur actuelle définie par

(autrement dit : calcul exact avec la fonction d'escompte "bancaire" , correspondant à des intérêts composés annuels). On vérifie que possède la propriété de capitalisation initiale , définie comme suit : 

La valeur actuelle (ou la fonction d'escompte associée) possède la propriété de capitalisation initiale si , l'équation a toujours pour solution .